Die Lagrange-Methode ist ein Verfahren zur Optimierung einer Zielfunktion unter einer Nebenbedingung. In dem folgenden Beispiel wird eine Nutzenfunktion unter einer Budgetrestriktion optimiert. Die Frage lautet:
BEISPIEL: WELCHER KONSUMBÜNDEL IST UNTER GEGEBENER BUDGERESTRIKTION OPTIMAL?
Die Nutzenfunktion lautet:
![\[U = x² \times y\]](https://24uni-hsjrenq49n.netdna-ssl.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6070d99c0fc82278f486200465e5b33_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Budgetrestriktion lautet:
100 = x + y
0 = x + y – 100
Die Lagrangefunktion lautet also:
![\[L = x² * y - λ \times (x + y - 100)\]](https://24uni-hsjrenq49n.netdna-ssl.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-256fc2be9456bc88c9f7850011b2a346_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Man bildet zunächst die 3 partiellen Ableitungen und setzt diese gleich 0:
∂L / ∂x = 2xy – λ = 0
∂L / ∂y = x² – λ = 0
∂L / ∂λ = -x – y + 100 = 0
Anschließend löst man die ersten beiden partiellen Ableitungen nach einer Variablen auf, dazu kann man zum Beispiel das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren verwenden.
2xy – λ = 0 x² – λ = 0
2xy = λ x² = λ
Wir schreiben als Bruch:
2xy = λ
x² λ
Daraus folgt:
2y = 1
x 1
Also:
2y = x
Dies entspricht dem optimalen Verhältnis der Güter. Dieses Ergebnis wird in die 3. partielle Ableitung eingesetzt.
-(2y) – y + 100 = 0
-3y = -100
y = 100/3
Von Gut y werden 100/3 Einheiten konsumiert. Das setzen wir in 2y = x ein, so dass
2 * 100/3 = x
200/3 = x
Von Gut x werden 200/3 Einheiten konsumiert. Das optimale Güterbündel liegt also bei 200/3 für x und 100/3 für y. Dazu kann folgende Skizze hilfreich sein:
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Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von Uni-24.de
Geschäftsführer der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
